Геометрія навколо нас

Принцип економії добре “засвоїли” тварини. Зберігаючи тепло, на холоді вони сплять згорнувшись у клубочок, поверхню тіла зменшується, і тепло краще зберігається. З цих же причин північні народи будували круглі будинку. Тварини, звичайно, ж геометрію не вивчали, але природа наділила їх талантом будувати собі будинки у формі геометричних тіл. Багато птахів – горобці, кропив’яники, лірохвости – будують свої гнізда у формі напівкулі. Є архітектори і серед риб: у прісних водах живе дивовижна риба колючка. На відміну від багатьох своїх одноплемінників вона живе в гнізді, яке має форму кулі. Але самі митецькі геометри – бджоли. Вони будують стільники з шестикутників. Будь-яка осередок в сотах оточена шістьма іншими осередками. А заснування, або денце, осередки являє собою тригранну піраміду. Така форма обрана неспроста. У правильний шестикутник поміститься більше меду, а зазори між осередками будуть найменшими! Розумна економія зусиль і будівельних матеріалів.

Досі розглядали деякі геометричні форми, створені руками людини. Але ж в самій природі дуже багато чудових геометричних форм. Незвичайно красиві і різноманітні багатокутники, створені природою. Кристал солі має форму куба. Кристали гірського кришталю нагадують відточений з двох сторін олівець. Алмази найчастіше зустрічаються у вигляді октаедра, іноді куба. Існують і багато мікроскопічні багатокутники. У мікроскоп можна побачити, що молекули води при замерзанні розташовуються у вершинах і центрах тетраедрів. Атом вуглецю завжди з’єднаний з чотирма іншими атомами теж у формі тетраедра. Одна з найбільш вишуканих геометричних фігур падає на нас з неба у вигляді сніжинок. Звичайна горошина має форму кулі. І це неспроста. Коли стручок гороху дозріє і лопне, горошини впадуть на землю і завдяки своїй формі покотяться в усі сторони, захоплюючи все нові території. Горошини кубічної або пірамідальної форми так і залишилися б лежати біля стебла. Кульову форму приймають крап

По вулиці рухаються автомобілі, трамваї, тролейбуси. Їх колеса з геометричної точки зору – круги. У навколишньому світі зустрічається багато різних поверхонь, складних за формою, що не мають спеціальних назв.  Паровий котел нагадує циліндр. У ньому знаходиться пара під високим тиском. Тому стінки циліндра злегка (непомітно для ока) вигинаються, утворюючи поверхню дуже складною і неправильної форми, яку інженери повинні знати, щоб зуміти правильно розрахувати котел на міцність. Складну форму має і корпус підводного човна. Він повинен бути добре обтічним, міцним і містким. Від форми корабельного корпусу залежить і міцність корабля, і його стійкість і швидкість. Результат роботи інженерів над формою сучасних автомобілів, поїздів, літаків – високі швидкості руху. Якщо форма буде вдалою, обтічної, опір повітря значно зменшується, за рахунок чого збільшується швидкість. Складну форму мають і деталі машин – гайки, гвинти, зубчасті колеса і т.д. Розглянемо ракети і космічні

Стіни, підлога і стеля є прямокутниками (зверніть увагу на прорізи вікон і дверей). Кімната, цегла, шафа, залізобетонні блоки, нагадують своєю формою прямокутний паралелепіпед. Подивимося на паркетну підлогу. Планки паркету – прямокутники або квадрати. Плитки підлоги у ванній, метро, на вокзалах частіше бувають правильними шестикутниками або восьмикутниками, між якими укладені невеликі квадратики. Багато речей нагадують окружність – обруч, кільце, доріжка вздовж арени цирку. Арена цирку, дно склянки чи тарілки мають форму кола. Фігура, близька до кола, вийде, якщо розрізати впоперек кавун. Наллємо в стакан воду. Її поверхня має форму кола. Якщо нахилити склянку, щоб вода не виливалася, тоді край водної поверхні стане еліпсом. А у когось є столи у вигляді кола, овалу або дуже плоского паралелепіпеда. З часу винаходу гончарного кола люди навчилися робити круглий посуд – горщики, вази. На геометричну кулю схожі кавун, глобус, різні м’ячі (футбольний, волейбольний, баскетбо

Вже 200 тисяч років тому було виготовлено знаряддя порівняно правильної геометричної форми, а потім люди навчилися шліфувати їх. Спеціальних назв для геометричних фігур, звичайно, не було. Говорили: «такий же, як кокосовий горіх» або «такий же, як сіль» і так далі. А коли люди стали будувати будинки з дерева, довелося глибше розібратися в тому, яку форму слід надавати стінам і даху, якої форми мають бути колоди. Самі того не знаючи, люди весь час займалися геометрією: жінки, виготовляючи одяг, мисливці, виготовляючи наконечники для копій або бумеранги складної форми, рибалки, роблячи такі гачки з кісті, щоб риба з них не зривалася.

Часто ми чуємо про ще одному виді геометрії – нарисної. А що таке нарисна геометрія? Це один з її численних розділів, який вивчає фігури, які проектуються на площину. Які завдання стоять перед нарисної геометрією? В першу чергу, це зображення фігур на площині і при цьому рішення метричних задач. Як відомо, інженерне творчість вимагає розвитку просторової уяви. Нарисна геометрія, як наука, допомагає людині розвивати це просторова уява. Для вирішення завдань з нарисної геометрії, в першу чергу, потрібен креслення, на який проектуються фігури, позначаються всі точки. Будівництво, архітектура, мистецтво – це ті сфери діяльності людини, де застосовують нарисну геометрію. А ще, завдяки цій науці, сьогодні можна показати на площині рельєф землі, проектувати дороги, тунелі і канали. Інші галузі математики також тісно пов’язані з нарисної геометрією. Підводячи підсумок, можна без перебільшення сказати, що геометрія – це той предмет, який можна назвати фундаментом багатьох наук

Розвиток цивілізації спричинило за собою розвиток науки. Геометрією займалися багато вчених, і в результаті їх наукових робіт, геометрія знайшла собі місце на практиці. Про те, для чого потрібна геометрія, можна розповідати дуже багато. В першу чергу вона пов’язана з такими науками, як інженерія, фізика, астрономія, що дає можливість проводити нові відкриття і розробляти перспективні проекти. Всі інженерні розрахунки пов’язані з геометрією, навіть, здавалося б, такі дріб’язкові, як, наприклад, установка вуличних ліхтарів. Адже для цього потрібно з високою точністю прорахувати кут падіння променя світла на землю, щоб він зміг максимально освітити територію. Також геометрія потрібна при розрахунку перед початком будівництва. Архітектори повинні з точністю прорахувати всі моменти будівництва. Законами геометрії підкоряються траєкторії і габарити транспорту, тому водії повинні враховувати це для безпечного руху. Можна наводити ще багато прикладів із життя, де геометрія займ

Структура даних це специфічний спосіб організації даних в комп'ютері, так що вона може бути використана ефективно. Різні види структур даних підходять для різних типів додатків, а деякі є вузькоспеціалізованими для виконання конкретних завдань. Наприклад, бази даних використовують індекси Б-дерева для малих відсотків пошуку даних і компіляторів, а бази даних використовують динамічні хеш-таблиці , як пошукові. Структури даних забезпечують ефективні засоби для управління великими обсягами даних для таких ужитків, як великі бази даних і веб-індексування. Як правило, ефективні структури даних грають ключову роль в розробці ефективних алгоритмів. Деякі формальні методи проектування та мови програмування підкреслюють структури даних, а не алгоритми, як ключовий організаційний фактор у розробці програмного забезпечення. Зберігання та пошук можуть бути здійснені за даними, що зберігаються як в пам'яті комп'ютера, так і у зовнішній пам'яті.

Алгоритм являє собою покрокову процедуру для розрахунків. Алгоритми використовують для розрахунку, обробки даних і автоматизованого мислення. Алгоритм є ефективним процесом. Він виражається у вигляді обмеженого списку, що складається з чітко визначених інструкцій для обчислення функції. Починаючи з первинного стану і початкової «вхідної інформації» (цей пункт може бути порожнім), інструкції описують обчислення, які при виконанні проходять через кінцеву кількість чітко визначених послідовних станів і зрештою на останньому етапі результують у «вихідну інформацію». Перехід від одного стану до іншого, не обов'язково детермінований; деякі алгоритми, відомі як увипадковлені алгоритми, не виключають випадковий порядок

Хоча логічний висновок і математичне доведення існували і раніше, у 1931 році Курт Гедель своєю теоремою про неповноту довів, що існують принципові обмеження на те, які формули можуть бути доведені або спростовані. Цей розвиток призвів до сучасного вивчення логіки і обчислюваності, а також, безперечно, області теоретичної інформатики в цілому. Теорія інформації була додана до галузі разом з математичною теорією зв'язку Клода Шеннона (1948). У тому ж десятилітті, Дональд Хеббпредставив математичну модель навчання в головному мозку. З біологічними даними (кількість яких  тільки зростала), що, з деякими виправленнями, підтверджували цю гіпотезу, була створена галузь нейронних мереж і паралельної розподіленої технології обробки. У 1971 році Стівен Кук і Леонід Левін, працюючи незалежно один від одного, довели, що існують практично-відповідні проблеми, які є NP-повними — помітний результат в теорії складності обчислень. З розвитком квантової механіки на початку 20-го століття

Теоретична інформатика  — це наукова галузь, предметом вивчення якої є інформація та інформаційні процеси, в якій здійснюється винахід і створення нових засобів роботи з інформацією. Це підрозділ загальної інформатики та математики, який зосереджується на більш абстрактних або математичних аспектах обчислювальної техніки і яка включає в себе теорію алгоритмів. Як будь-яка фундаментальна наука, теоретична інформатика (в тісній взаємодії з філософією і кібернетикою) займається створенням системи понять, виявленням загальних закономірностей, що дозволяють описувати інформацію та інформаційні процеси, що протікають в різних сферах (у природі, суспільстві, людському організмі, технічних системах).

З часів Давньої Греції в основі геометрії лежать філософські поняття. Визначаючи точку як «те, що не має частин», підхід до неї відрізняється у Піфагора, який ототожнює точку з числовою одиницею і у якого точка має тільки положення в просторі і не має розміру, і у Демокріта, який ладу атомістичну теорію, дає точці «сверхчувственно малий» розмір. До атомістичним уявленням сходять також визначення лінії і поверхні, де неподільними є «ширина» і «глибина», відповідно. Геометрія є п'ятим з семи вільних мистецтв за рівнем навчання. Їй передує тривиум, що складається з Граматики, Риторики і Діалектики, а також Арифметика - старша наука в квадривиума, до якого також належать Музика і Астрономія. Марциан Капела в своєму трактаті «Весілля Філософії і Меркурія» створив візуальні образи всіх семи мистецтв і в тому числі Геометрії. Мистецтва уособлювали жінки з відповідними атрибутами, які супроводжувалися відомими представниками сфери. Геометрія тримає в своїх руках глобус і циркуль,

Минали роки… геометрія збагачувалася новими фактами, змінювала свій вигляд. Були часи, коли вона, як при Платоні або Піфагорі, займала становище справжньої цариці наук, а були й періоди, коли вона в своєму розвитку починала відставати від інших, молодих, що бурхливо розвивалися, наук. Але ніколи, очевидно, поки стоїть світ, не настане такий час, коли б людство могло сказати: ось тепер геометрія не потрібна і залишаєтьсяздати її в архів. Геометрія була, є і буде постійною супутницею людини на всьому шляху її розвитку, у всій її довгій, складній і цікавій еволюції.

Уся термінологія, застосовування в геометрії, з винятковою наочністю свідчить про те, що поняття про геометричні образи виникли внаслідок абстрагування від реальних предметів різної форми. Так, наприклад, слово точка походить від дієслова "ткнути" і означає результат миттєвого дотикання, уколу. Поняття прямої лінії, очевидно, є абстракцією від натягнутої льняної нитки. Таке саме конкретне значення і геометричний термін грецького походження: слово сфера походить від грецького "м'яч", куб - від "гральна кість", циліндр - від "валик", конус - від "соснова шишка", призма - від "обпиляна", трапеція - від "столик". Нитка була не тільки прообразом геометричної лінії, а й першим геометричним інструментом: натягнута вірьовка відігравала роль лінійки; закріплюючи один кінець вірьовки, другим її кінцем як циркулем описували коло; поділяючи вірьовку із зв'язаними кінцями на 12 рівних частин і надаючи ї

Двома визначними майстрами досліджень в геометрії цього часу були Бернгард Ріман, який працював переважно з інструментами математичного аналізу і ввів Ріманові поверхні, та Анрі Пуанкаре, засновник алгебричної топології і геометричної теорії динамічних систем. Наслідком цих великих змін в геометричних поглядах концепція «простору» стала значно багатша і різноманітніша, і перетворилася на природну основу таких різних теорій, як комплексний аналіз чи класична механіка. Традиційні види геометрій були визнані як загальний однорідний простір, такий простір, який має достатню кількість симетрій, так щоб погляд з одної чи іншої точки давав той самий вид.

Остаточне оформлення і систематичний виклад цих нових напрямів геометрії дані в XVIII — на початку XIX століття Леонардом Ейлером (1707—1783) для аналітичної геометрії (1748), Гаспаром Монжем для диференціальної геометрії (1795), Жан-Віктором Понселе для проективної геометрії (1822), причому саме вчення про геометричне зображення (у прямому зв'язку із завданнями креслення) було ще раніше (1799) розвинене і приведене в систему Монжем у вигляді нарисної геометрії. У всіх цих нових дисциплінах основи (аксіоми, початкові поняття) геометрії залишалися незмінними, коло ж фігур, що вивчаються, і їхніх властивостей, а також використаних методів розширювався. XIX сторіччя дало два значних прориви у розвитку науки. Дослідження Миколи Лобачевського, Яноша Больяї і Карла Гауса відкрили несуперечність неевклідової геометрії, в якій знаменитий п'ятий постулат Евкліда замінений на зворотне твердження. Фелікс Клейн зв'язав всі види геометрій, згідно з ним геометрія вивчає

Центральне місце серед них займають складені близько 300 до н. е. «Начала» Евкліда. Ця праця і понині залишається зразковим викладенням у дусі аксіоматичного методу: всі положення виводяться логічним шляхом з невеликого числа явно зазначених і не доводимих припущень — аксіом. Геометрія греків, звана сьогодні евклідовою, або елементарною, займалася вивченням простих форм: прямих, площин, відрізків, правильних багатокутників і багатогранників, конічних перерізів, а також куль, циліндрів, призм, пірамід і конусів. Обчислюються їхні площі і об'єми. Перетворення в основному обмежувалися геометричною подібністю. Середньовіччя небагато дало геометрії, і наступною великою подією в її історії стало відкриття Рене Декартом (1596—1650) і П'єром Ферма (1601—1665) в XVII столітті координатного методу («Міркування про метод», 1637). Точкам зіставляються набори чисел, це дозволяє вивчати відносини між формами методами алгебри. Так з'явилася аналітична геометрія, що вивчає ф

У Стародавній Греції, починаючи з 7 століття до н. е., з часів Фалеса Мілетського, починається новий етап розвитку геометрії. Вона набуває характерного для неї абстрактного напряму, у ній виникає доведення. Грецький мислитель мілетської школи Анаксимандр здійснив першу спробу створення систематичного курсу для викладання геометрії. Перетворення це відбулося шляхом абстрагування від будь-яких властивостей тіл, крім взаємного положення і величини. Наукою геометрія стала, коли від набору рецептів перейшли до встановлення загальних закономірностей. Подальші спроби побудови систематичних курсів математики належать Гіппократу Хіоському, Феодору Кіренському, Архіту Тарентському, Евдоксу Кнідському та багатьом іншим вченим. Вони створили математичну основу для подальшого розвитку науки, теоретичного природознавства і філософії Давньої Греції. Греки склали перші систематичні і доказові праці з геометрії, великий внесок зробили Евклід, Архімед, Аполлоній Перзький.

Геометрія — слово грецького походження землемірство . Однак першими «землемірами» були стародавні єгиптяни. Сільське господарство могло розвиватись лише біля річки Ніл. Щороку Ніл розливався, приносячи на землі які були залиті водою, плодючий мул. Кожен селянин мав наділ землі певної площі, однак розливи ріки не дозволяли раз і назавжди визначити межі кожного наділу, тому після чергового розливу доводилось визначати земельну ділянку заново. Це виконували землеміри — люди, що за допомогою шнура відміряли кожному селянину ділянку з площею, яка була йому приписана. Стародавні єгиптяни не знали циркуля, його винайшли греки. Однак це їм особливо не перешкоджало. Так, прямий кут вони будували мотузкою, що має довжину 12 мір. За допомогою цієї мотузки можна побудувати трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 мір. Такий трикутник за теоремою Піфагора є прямокутним. Тому прямокутний трикутник також називають єгипетським .

Геометрія в первинному значенні — наука про фігури, взаємне розташування і розміри їхніх частин, а також про перетворення фігур. Це визначення цілком узгоджується з визначенням геометрії як науки про просторові форми і відносини. Дійсно, фігура, як вона розглядається в геометрії, і є просторова форма; тому в геометрії говорять, наприклад, «куля», а не «тіло кулястої форми»; розташування і розміри визначаються просторовими відносинами; нарешті, перетворення, як його розуміють у геометрії, також є певне відношення між двома фігурами — даної і тієї, в яку вона перетвориться. У сучасному, загальнішому смислі, геометрія обіймає різноманітні математичні теорії, приналежність яких до геометрії визначається не лише схожістю (хоча часом і вельми віддаленою) їхнього предмета зі звичайними просторовими формами і відносинами, але також тим, що вони історично склалися і складаються на основі геометрії в первісному її значенні, і в своїх побудовах виходять з аналізу, узагальнення і видозміни

Геометрія  — розділ  математики ,    наука про просторові форми, відносини і їхні узагальнення.  Геометрія — одна з найдавніших   наук . Від початку вона була галуззю   практичного   знання , що розглядало   довжини ,   площі , і   об'єми . Початкові поняття геометрії виникли в результаті відволікання від будь-яких властивостей і відносин тіл, крім взаємного розташування і величини. Перші виражаються в дотику або приляганні тіл один до одного, в тому, що одне тіло є частиною іншого, в розташуванні «між», «всередині» тощо. Інші виражаються в поняттях «більше», «менше», в понятті про рівність тіл. Шляхом такого ж відволікання виникає поняття геометричного тіла. Геометричне тіло — абстракція, в якій зберігаються лише форма і розміри при повному абстрагуванні від усіх інших властивостей. При цьому геометрія, як властиво математиці взагалі, повністю абстрагується від невизначеності й рухливостіреальних форм і розмірів і вважає всі досліджувані нею відносини і форми абсолютно точни